牛客周赛51

A 小红的同余

给出一个奇数 $m$，请找出一个整数 $x$（$0\le x<m$），使得 $2x\equiv 1(\mathrm{mod}m)$，也就是 $2x$ 除以 $m$ 的余数是 $1$。你需要输出这个整数 $x$。

void solve() {
    int n;cin >> n;
    cout << (n + 1) / 2 << '\n';
}

B 小红的三倍数

现在有 $n$ 个整数，需要寻找一种拼接方式，将所有整数首尾相连，是否存在一种方式让拼接后的整数是 3 的倍数。

判断一个数是不是三的倍数只需要看它的各位之和是不是三的倍数即可

void solve() {
    int n;cin >> n;
    int sum = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        string s;cin >> s;
        for (auto x : s)sum += x - '0';
    }
    if (sum % 3 == 0) {
        cout << "YES\n";
    } else {
        cout << "NO\n";
    }
}

C 小红充电

小红手机充满电是 100%，现在手机有 $x$ %的电，不充电玩手机每分钟会损失 $y$ %的电，充着电玩手机每分钟会充 $a$ %的电，充着电不玩手机每分钟会充 $b$ %的电，电量不高于 $t$ %开始触发超级充电 (充到 $t$ %之后仍然保持超级充电)，超级充电时不能玩手机，每分钟会充 $c$ %的电。小红现在有急事要出门，问最短多长时间会充满电？

由题目容易知道：

当 $x\le t$ 时，直接超级充电即可

当 $x>t$ 时，分为两种：

• 直接按照当前最快速度充电直至充满
• 先将电量玩到 $x\le t$，然后直接超级充电

void solve() {
    cout << setprecision(10);
    int x, y, t, a, b, c;cin >> x >> y >> t >> a >> b >> c;
    if (x <= t) {
        cout << (100 - x) * 1.0 / c << '\n';
    } else {
        cout << min((100 - x) * 1.0 / max(a, b), (100 - t) * 1.0 / c + (x - t) * 1.0 / y) << '\n';
    }
}

D 小红的 gcd

给两个正整数 $a,b$，输出他们的最大公约数 $gcd(a,b)$。

$1\le a\le {10}^{{10}^6}$。
$1\le b\le {10}^9$。

Solution

大数取模

即一个大数和一个 int 数求 gcd

易得：gcd (a, b)=gcd (b, a%b)

即求 x=a%b，ans=gcd (b, x) $x\in [0,b)$

运用性质：多个因子连续的乘积取模的结果等于每个因子取模后的乘积再取模的结果

即：$(a\times b)\mathrm{\%}p=(a\mathrm{\%}p\times b\mathrm{\%}p)\mathrm{\%}p$

由此性质，可以将 a 分为若干块，假设每次分割 9 位数字 $⟹a_0\times {10}^9\times a_1\times {10}^{18}\times \dots$ (但是似乎没有必要的...)

只需要一位一位计算即可。

则 $amodb=\sum a_{i}modb$

#define int long long
void solve() {
    string a;int b;cin >> a >> b;
    vector<int> ans;
    for (int i = 0;i < a.size();i += 9) {
        string s = a.substr(i, 9);
        ans.push_back(stoi(s));
    }
    int x = 0;
    for (auto m : ans) {
        x *= qpow(10, to_string(m).size(), b);x += m;x %= b;
    }
    cout << __gcd(x, b) << '\n';
}

$⟹$
$ans=(a[0]\times {10}^{n-1}\mathrm{mod}b+a[1]\times {10}^{n-2}\mathrm{mod}b+...+a[i]\times {10}^{n-i-1}\mathrm{mod}b)$

#define int long long
void solve() {
    string a;int b;cin >> a >> b;
    int ans = 0;
    for (auto x : a) {
        ans = (ans * 10 + x - '0') % b;
    }
    cout << __gcd(ans, b) << '\n';
}

E 小红走矩阵

给定 $n\times n$ 的矩阵，矩阵中的每个元素都是正整数，小红能当前位于左上角 $(1,1)$，每次可以从 $(x,y)$ 走到 $(x+1,y)$、$(x,y+1)$、$(x-1,y)$、$(x,y-1)$，但不能走出矩阵。小红希望找到一条到右下角 $(n,n)$ 的路径，定义路径权值为路径上经过的每个点的最大值，求所有路径中的最小路径权值。

Solution

BFS+二分

做法很多：二分/最短路/并查集，但 DP 不可行。

二分答案想到了应该就不难了！时间复杂度 $O(n^2\log n)$，至于其他做法之后再说

constexpr int dx[] = {1, -1, 0, 0};
constexpr int dy[] = {0, 0, 1, -1};
int n,g[505][505];
bool check(int mid) {
    if (g[0][0] > mid) return false;

    vector<vector<bool>>  vis(n, vector<bool>(n, false));
    queue<pair<int, int>> q;
    q.push({0, 0}); vis[0][0] = true;

    while (!q.empty()) {
        auto [x, y] = q.front();q.pop();
        if (x == n - 1 && y == n - 1) return true;
        for (int i = 0; i < 4; ++i) {
            int nx = x + dx[i], ny = y + dy[i];
            if (nx >= 0 && nx < n && ny >= 0 && ny < n && ! vis[nx][ny] && g[nx][ny] <= mid) {
                q.push({nx, ny});
                vis[nx][ny] = true;
            }
        }
    }
    return false;
}
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            cin >> g[i][j];
        }
    }

    int l = INT_MAX, r = INT_MIN;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            l = min(l, g[i][j]);
            r = max(r, g[i][j]);
        }
    }
    
    while (l < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    cout << l << '\n';
}

并查集的思路:即按权值从小到大合并，直至 (0,0)和 (n-1, m-1)连通.

F 小红的数组

小红有一个数组，这个数组中有 $n$ 个数 $a_i$。
小红有 $q$ 次询问，每次询问给定一个区间 $[l,r]$，询问区间连续子段和的绝对值最大是多少，即区间存在 $x,y$ 使得 $l\le x\le y\le r$，求最大的 $\mathrm{abs}(a[x]+a[x+1]+.....+a[y])$ 是多少。

Solution

线段树/莫队/ ST表

线段树需要维护的信息：

1. 区间和 (sum)，包含左端点开始的最大字段和 (lmax)，右端点的 (rmax)，区间最大字段和 (mmax)
2. 最大值和最小值

题目其实有提示：$\mathrm{abs}(a[x]+a[x+1]+.....+a[y])$ 是连续的一段区间，即 $pre[y]-pre[x-1]$ 在 $[l,r]$ 区间内前缀和的最大值减去最小值即是答案，所以需要维护区间最大值和最小值即可。

将 i=1 改为 i=0 后就过了？不懂

#define int long long
int f1[500010][30], f2[500010][30];
void solve() {
    int n;cin >> n;
    vector<int> a(n + 1), pre(n + 1);
    for (int i = 1;i <= n;i++)cin >> a[i];
    for (int i = 1;i <= n;i++)pre[i] = pre[i - 1] + a[i];

    for (int i = 1;i <= n;i++)f1[i][0] = pre[i], f2[i][0] = f1[i][0];

    for (int j = 1;j <= 30;j++) {
        for (int i = 0;i + (1 << j) - 1 <= n;i++) {//将i=1改为i=0后就过了？
            f1[i][j] = max(f1[i][j - 1], f1[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
            f2[i][j] = min(f2[i][j - 1], f2[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        }
    }
    int q;cin >> q;
    while (q--) {
        int l, r;cin >> l >> r;l--;
        int k = __lg(r - l + 1);
        cout << max(f1[l][k], f1[r - (1 << k) + 1][k]) - min(f2[l][k], f2[r - (1 << k) + 1][k]) << '\n';
    }
}

若这个题目改动一下：将绝对值去掉，则题目变为245. 你能回答这些问题吗 - AcWing题库