西电 2026 开学考

一、填空题#

第 1 题#

题目： 圆上均匀分布的 12 个点中任取 3 点能构成的钝角三角形个数为 $\underline{120}$

圆内接三角形为钝角三角形 $\iff$ 三点落在同一个开半圆弧内（即三点跨度不超过 $5$ 个等分弧长）。

设首个顶点为 $A$（有 $12$ 种选法），顺时针方向的跨度 $k \in \{2, 3, 4, 5\}$（对应最远端点 $C$）。

中间点 $B$ 在 $A, C$ 之间有 $k - 1$ 种选法。

求和：

$$12 \times \sum_{k=2}^5 (k - 1) = 12 \times (1 + 2 + 3 + 4) = 12 \times 10 = \mathbf{120}$$

(亦可用补集法：总数 $\binom{12}{3} = 220$，直角 $6 \times 10 = 60$，锐角 $40$，钝角 $220 - 60 - 40 = 120$)

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第 2 题#

题目： 已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$，$B = \{5, 6, 7\}$，设函数 $f: A \to B$，则 $f$ 单调不增的概率为 $\underline{\dfrac{5}{27}}$

函数总个数：从 $A$ 到 $B$ 的映射总数为 $|B|^{|A|} = 3^4 = 81$。

$f$ 单调不增要求：$f(1) \ge f(2) \ge f(3) \ge f(4)$。

这等价于从集合 $B = \{5, 6, 7\}$（$3$ 个元素）中可重复地任取 $4$ 个元素，按降序排列：

$$\text{满足条件的序列数} = \binom{4 + 3 - 1}{4} = \binom{6}{4} = 15$$

概率为：

$$P = \dfrac{15}{81} = \mathbf{\dfrac{5}{27}}$$

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第 3 题#

题目： 已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^x + 4x$，$g(x) = \ln x + 2x$，则与曲线 $y = f(x)$ 和 $y = g(x)$ 均相切的直线条数为 $\underline{1}$

设切点分别为 $(x_1, f(x_1))$ 与 $(x_2, g(x_2))$ ($x_2 > 0$)。

斜率相等：

$$f'(x_1) = g'(x_2) \implies \mathrm{e}^{x_1} + 4 = \dfrac{1}{x_2} + 2 \implies x_2 = \dfrac{1}{\mathrm{e}^{x_1} + 2}$$

截距相等：

$$f(x_1) - x_1 f'(x_1) = g(x_2) - x_2 g'(x_2)$$

化简整理得关于 $x_1$ 的方程：

$$h(x_1) = \mathrm{e}^{x_1}(1 - x_1) + \ln(\mathrm{e}^{x_1} + 2) + 1 = 0$$

求导：

$$h'(x) = \mathrm{e}^x\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}^x + 2} - x\right)$$

易知导数在 $(0, 1)$ 内有且仅有一个零点 $x_0$，函数先增后减；

当 $x \to -\infty$ 时，$h(x) \to \ln 2 + 1 > 0$；极大值 $h(x_0) > 0$；当 $x \to +\infty$ 时，$h(x) \to -\infty$。

故方程在 $(-\infty, x_0)$ 无解，在 $(x_0, +\infty)$ 上单调递减且有且仅有 1 个实根，公切线有 $1$ 条。

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第 4 题#

题目： 设 $a_n$ 为最接近 $\sqrt{n}$ 的整数，则数列 $\{a_n\}$ 的前 2026 项和为 $\underline{60810}$

$$a_n = k \iff k - \dfrac{1}{2} < \sqrt{n} < k + \dfrac{1}{2} \iff k^2 - k + 1 \le n \le k^2 + k$$

取值为 $k$ 的项数恰为 $(k^2 + k) - (k^2 - k) = 2k$ 项。

前 $m$ 组的总项数为 $\sum_{k=1}^m 2k = m(m+1)$。

令 $m = 44$，项数为 $44 \times 45 = 1980$。

前 $44$ 组的总和为：

$$\sum_{k=1}^{44} k \cdot 2k = 2\sum_{k=1}^{44} k^2 = 2 \times \frac{44 \times 45 \times 89}{6} = 58740$$

剩余项数：$2026 - 1980 = 46$ 项，这 $46$ 项的取值均为 $45$：

$$S_{2026} = 58740 + 46 \times 45 = 58740 + 2070 = \mathbf{60810}$$

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第 5 题#

题目： 设 $(x^2 - x + 1)^{2026} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_{2026}x^{2026}$，则 $2a_0 + 3a_1 + 4a_2 + \cdots + 2028a_{2026} = \underline{\qquad}$

设：

$$P(x)=(x^2 - x + 1)^{2026} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_{n} x^{n}$$

对于所求式子：

$$S=2a_0 + 3a_1 + 4a_2 + \cdots + (n+2)a_{n}$$

拆项

即：

$$S=\sum\limits_{k=0}^nka_{k}+2\sum\limits_{k=0}^na_{k}$$

令 $x=1$：

$$P(1)=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}=1$$

对 $P(x)$ 求导：

$$P'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^2+\dots+na_{n}x^{n-1}$$

代入 $x=1$：

$$P'(1)=a_{1}+2a_{2}+3a_{3}+\dots+na_{n}=\sum\limits_{k=0}^nka_{k}$$

而 $P'(x)=2026(x^2-x+1)^{2025}\cdot(2x-1)$，代入 $x=1 \implies P'(1)=2026$。

所以：

$$S=P'(1)+2P(1)=2026+2=2028$$

构造

由于次数和系数差 2，直接升幂，两边同乘以 $x^2$：

$$x^2P(x)=a_{0}x^2+a_{1}x^3+a_{2}x^4+\dots+a_{n}x^{n+1}$$

对左边求导：

$$\frac{\mathrm{d}[x^2P(x)]}{\mathrm{d}x}=2xP(x)+x^2P'(x)$$

令 $x=1 \implies S=2P(1)+P'(1)=2\times 1+2026=2028$。

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第 6 题#

题目： 已知矩形的长为 12，宽为 8，某半圆能完全放置于该矩形中，则该半圆面积的最大值为 $\underline{(296 - 160\sqrt{3})\pi}$

倾斜放置：

将半圆倾斜，使圆弧同时与矩形的一条长边和一条短边相切，而直径的两端点分别落在另外两条边上。

设圆心在 $(r, r)$，直径两端点落在 $x = m$ 与 $y = n$ 上，可严格导出半径满足：

$$(m - r)^2 + (n - r)^2 = r^2 \implies r^2 - 2(m+n)r + (m^2+n^2) = 0$$

解得最大半径：

$$r = m + n - \sqrt{2mn} = 12 + 8 - \sqrt{192} = 20 - 8\sqrt{3} \approx 6.1436 > 6$$

最大面积：

$$S = \dfrac{1}{2}\pi r^2 = \mathbf{(296 - 160\sqrt{3})\pi} \approx 18.87\pi \approx 59.29$$

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第 7 题#

题目： 已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(0) = 0$，$f(x) + f(1 - x) = 1$，$f(x) = 2f\left(\dfrac{x}{5}\right)$，且当 $0 \le x_1 \le x_2 \le 1$ 时，$f(x_1) \le f(x_2)$，则 $f\left(\dfrac{1}{2026}\right) = \underline{\frac{1}{32}}$

$f(0) = 0 \implies f(1) = 1 - f(0) = 1$。

$f(1) = 2f(1/5) \implies f(1/5) = 1/2$。

由对称性 $f(4/5) = 1 - f(1/5) = 1/2$。

结合单调不减性质，$f(x)$ 在 $\left[\dfrac{1}{5}, \dfrac{4}{5}\right]$ 上恒等于 $\dfrac{1}{2}$（类 Cantor 五进制阶梯函数）。

递推性质：当 $x \in \left[\dfrac{1}{5^{k+1}}, \dfrac{4}{5^{k+1}}\right]$ 时，$5^k x \in \left[\dfrac{1}{5}, \dfrac{4}{5}\right]$，此时：

$$f(x) = \frac{1}{2^k} f(5^k x) = \frac{1}{2^{k+1}}$$

取 $k = 4$，区间为 $\left[\dfrac{1}{3125}, \dfrac{4}{3125}\right] = \left[\dfrac{1}{3125}, \dfrac{1}{781.25}\right]$。

因为 $781.25 < 2026 < 3125$，故 $\dfrac{1}{2026}$ 恰好落在此区间内！

$$f\left(\frac{1}{2026}\right) = \frac{1}{2^{4+1}} = \mathbf{\frac{1}{32}}$$

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第 9 题#

题目： 已知集合 $S = \{1, 2, \cdots, 2026\}$，则满足 $A, B \subseteq S$ 且 $A \cap B = \emptyset$ 的二元集 $\{A, B\}$ 的个数为 $\underline{\dfrac{3^{2026} - 1}{2}}$

考虑有序子集对 $(A, B)$ 满足 $A \cap B = \emptyset$：$S$ 中每个元素有 3 种归属（属于 $A$、属于 $B$、两者都不属于），共有 $3^{2026}$ 对。

题目要求 $\{A, B\}$ 为二元集，即无序集合且两元素互异（$A \ne B$）。

$A = B$ 且 $A \cap B = \emptyset \implies A = B = \emptyset$，只有 $(\emptyset, \emptyset)$ 这一种情况。

去除相同情况后无序化除以 2：

$$\dfrac{3^{2026} - 1}{2}$$

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第 10 题#

题目： 已知 $\{\sin\theta, \sin 2\theta, \sin 3\theta\} = \{\cos\theta, \cos 2\theta, \cos 3\theta\}$，则 $\theta = \underline{\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2},k \in \mathbb{Z}}$

集合元素和相等：

$$(\sin\theta + \sin 3\theta) + \sin 2\theta = (\cos\theta + \cos 3\theta) + \cos 2\theta$$ $$2\sin 2\theta\cos\theta + \sin 2\theta = 2\cos 2\theta\cos\theta + \cos 2\theta$$ $$(2\cos\theta + 1)(\sin 2\theta - \cos 2\theta) = 0$$

若 $2\cos\theta + 1 = 0 \implies \cos\theta = -1/2$，此时求得的集合出现重复元素（不满足互异性集合定义），舍去。

若 $\sin 2\theta = \cos 2\theta \implies \tan 2\theta = 1 \implies 2\theta = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \implies \theta = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2}$。

代入验证：当 $\theta = \pi/8$ 时，两集合均为 $\left\{\sin\dfrac{\pi}{8}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos\dfrac{\pi}{8}\right\}$，元素互异且两集合完全相等。

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二、解答题#

题目： 解不等式 $\dfrac{1}{\sqrt{x+1}} \le \dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{x}{x - 1}}$

定义域：

• $x + 1 > 0 \implies x > -1$；
• $\dfrac{x}{x-1} \ge 0 \implies x \le 0$ 或 $x > 1$；
• 综上定义域为 $(-1, 0] \cup (1, +\infty)$。

当 $x = 0$ 时，左边 $= 1$，右边 $= 0$，$1 \le 0$ 不成立，排除。

当 $x \in (-1, 0)$ 时，两边均为正，两端平方得：

$$\dfrac{1}{x+1} \le \dfrac{x}{9(x-1)}$$

因 $x-1 < 0$，去分母变号得：

$$9(x-1) \ge x(x+1) \implies x^2 - 8x + 9 \le 0$$

此时判别式 $\Delta = 28$，两根为 $4 \pm \sqrt{7} > 1$，在 $(-1, 0)$ 内无解。

当 $x \in (1, +\infty)$ 时，去分母保持不等号方向：

$$9(x-1) \le x(x+1) \implies x^2 - 8x + 9 \ge 0$$

解得 $x \le 4 - \sqrt{7}$ 或 $x \ge 4 + \sqrt{7}$。

因为 $4 - \sqrt{7} \approx 1.354 > 1$，结合定义域得到解集：

$$x \in (1, 4 - \sqrt{7}] \cup [4 + \sqrt{7}, +\infty)$$

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三、解答题#

题目： 求单位圆上正 2026 边形上一顶点到另外 2025 个顶点的距离之积

对于大一开学考而言知识点超纲了，出的不好，不过列几个示例答案很好猜出来，但是解答题嘛，可能可以混个答案分…

将正 $n$ 边形放在复平面单位圆上，顶点为方程 $z^n - 1 = 0$ 的根：

$$\omega_k = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi}{n}} \quad (k = 0, 1, \dots, n-1)$$

取基准点为 $z = 1$（对应 $k = 0$），到其余顶点的距离为 $|1 - \omega_k|$。

利用代数恒等式：

$$z^n - 1 = (z - 1)(z^{n-1} + z^{n-2} + \cdots + z + 1) = (z - 1)\prod_{k=1}^{n-1}(z - \omega_k)$$

当 $z \ne 1$ 时两边除以 $z - 1$：

$$\prod_{k=1}^{n-1}(z - \omega_k) = z^{n-1} + z^{n-2} + \cdots + z + 1$$

取 $z \to 1$ 的极限并在两端取模：

$$\prod_{k=1}^{n-1}|1 - \omega_k| = |1 + 1 + \cdots + 1| = n$$

本题中 $n = 2026$，所求距离之积即为 $\mathbf{2026}$。

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五、解答题#

题目： 已知数列 $\{x_n\}$ 满足 $\left|x_n - \dfrac{x_{n+1}}{2}\right| \le 1$，且 $|x_n| \le \left(\dfrac{3}{2}\right)^n$，证明：$|x_n| \le 2$

由三角不等式：

$$|x_n| \le 1 + \dfrac{1}{2}|x_{n+1}|$$

将此不等式连续向后迭代 $k$ 次：

$$|x_n| \le 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^{k-1}} + \frac{1}{2^k}|x_{n+k}| = 2\left(1 - \frac{1}{2^k}\right) + \frac{1}{2^k}|x_{n+k}|$$

代入已知增长条件 $|x_{n+k}| \le \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+k}$：

$$\frac{1}{2^k}|x_{n+k}| \le \frac{1}{2^k}\left(\frac{3}{2}\right)^{n+k} = \left(\frac{3}{2}\right)^n \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^k$$

因为公比 $\dfrac{3}{4} < 1$，当 $k \to \infty$ 时，余项：

$$\lim_{k \to \infty} \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \left(\dfrac{3}{4}\right)^k = 0$$

对任意固定的 $n$，令 $k \to \infty$，即证得：

$$|x_n| \le 2$$

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六、解答题#

题目： 设函数 $f(x) = |x^2 - a|$ 在 $[0, 1]$ 上的最大值为 $M(a)$，求 $M(a)$ 的最小值

设 $g(x) = x^2 - a$，当 $x \in [0, 1]$ 时，$x^2 \in [0, 1]$，故 $g(x)$ 的值域为 $[-a, 1 - a]$。

函数 $f(x) = |g(x)|$ 的最大值必在其边界取得：

$$M(a) = \max_{x \in [0, 1]} |x^2 - a| = \max\{|a|, |1 - a|\}$$

由绝对值三角不等式：

$$M(a) = \max\{|a|, |1 - a|\} \ge \frac{|a| + |1 - a|}{2} \ge \frac{|a + (1 - a)|}{2} = \frac{1}{2}$$

当且仅当 $|a| = |1 - a|$（即 $a = \dfrac{1}{2}$）时取等号，故 $M(a)$ 的最小值为 $\mathbf{\dfrac{1}{2}}$。

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七、解答题#

题目： 设点 $A, B, C$ 在曲线 $xy = 1$ 上，且 $\triangle ABC$ 为等腰直角三角形，求 $\triangle ABC$ 面积的最小值

设直角顶点为 $A(u, 1/u)$，点 $B(v, 1/v)$。

向量 $\overrightarrow{AB} = \left(v - u, \dfrac{1}{v} - \dfrac{1}{u}\right)$，将 $\overrightarrow{AB}$ 旋转 $90^\circ$ 得到点 $C$：

$$x_C = u - \left(\frac{1}{v} - \frac{1}{u}\right), \quad y_C = \frac{1}{u} + (v - u)$$

因为点 $C$ 在双曲线 $xy = 1$ 上，代入 $x_C y_C = 1$，展开后可因式分解出根 $v = u$（重合退化），得到另一非退化实根：

$$v = \frac{u^2 - 1}{u(u^2 + 1)}$$

直角边长的平方为：

$$|\overrightarrow{AB}|^2 = (v - u)^2 + \left(\frac{1}{v} - \frac{1}{u}\right)^2 = \frac{2(u^4 + 1)^3}{u^2(u^4 - 1)^2}$$

面积公式：$S = \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^2$。

令 $t = u^2$，$w = t + \dfrac{1}{t} > 2$，化简面积函数得：

$$S(w) = \frac{w^3}{w^2 - 4} \quad (w > 2)$$

求导求极值：

$$S'(w) = \frac{w^2(w^2 - 12)}{(w^2 - 4)^2} = 0 \implies w = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$

代入得面积最小值：

$$S_{\min} = \frac{(2\sqrt{3})^3}{(2\sqrt{3})^2 - 4} = \frac{24\sqrt{3}}{8} = \mathbf{3\sqrt{3}}$$